【大学堂】复合材料力学有关基础知识

为了便于读者理解和掌握复合材料结构的设计原理和设计方法，现将复合材料力学中有关的基础知识在本节中作一概述。

一、名词术语与层合表示方法

1．名词术语

(1)各向同性；材料性能与方向无关的一种特性。

(2)各向异性：材料性能因方向不同而改变的一种特性。

(3)正交各向异性：材料具有三个互相垂直的弹性对称平面的特性，这些平面的法线方向称为材料主方向。

(4)横向各向同性：具有正交各向异性特性的材料，若有一个各向同性平面时，称之为横向各向同性。单向复合材料即具有此种特性。

(5)耦合广种外力引起与其不对应的摹本变形的效应称为耦合。

(6)拉剪耦合、拉弯耦合、弯扭耦合：分别指由正应力引起剪应变的耦合，由正应力引起弯曲应变的耦合；由弯矩引起扭转应变的耦合。三者均为各向异性材料所特有。

(7)正轴：与材料主方向重合的参考坐标轴。

(8)偏轴：与构料主方向不重合，有一个偏转角的参考坐标轴。

(9)铺层：复合材料制件中一层单向带或织物称为一个铺层，是复合材料制件中一个最基本单元。

(10)层合板:由单向或多向铺层压制而成的复合材料板。

(11)铺向角(铺层角)：每一铺层的纤维方向与制件参考坐标X轴之间的夹角，由X轴到纤维方向逆时针旋转角度为铺层角。

(12)铺层组：一组具有相同铺层角的连续铺层。

(13)铺层顺序：铺贴中具有各种不同铺向角的铺层的排列次序。

(14)子层合板：在层合板内一个多次重复的多向铺层组合。

(15)对称层合板：全部铺层及其各种特性和参数相对于板的几何中面对称的层合板。

(16)均衡层合板：铺层的各种特性和参数相同，铺向角为-θ和θ的铺层数相等的层合板，且可包含任意数量的0°层和90°层。如[45°／-45°]，[0／45°／90／-45°]。

 

(17)均衡对称层合板：即均衡又对称的层合板。如[45°／-45°]。

(18)正交层合板：只有0°和90°铺层的双向层合板，如[0°／90°]。

(19)斜交层合板：只含有-θ和θ铺层的双向层合板，如[45°／-45°]。

(20)准各向同性板：面内各个方向的弹性常数相同的对称层合板，如[30／60／一30／一60]。

(21）n／4层合板：具有四个铺层方向，彼此相隔45°(即n／4)，且各铺层组可具有任意厚度的对称层合板。如[0／45／90／一45／0]。

(22)一般层合板：主要是指非对称层合板，还可以包括有不同层板组成的组合式层合板，或有不同铺层材料组成的混合式层合板。如[0／45／一45／45／90／0]。

 

(23)层间应力:除层板的三个面内应力分量外，沿两个铺层之间的界面上产生的、与厚度方向有关的三个应力分量，zx,τzy,σz。其中两个剪切分量称层间剪应力，也称横向剪应力。

(24)失效准则：复杂应力—应变状态下，材料失效的判据。

(25)许用值：计算中允许采用的材料性能值，由一定的试验数据确定。

(26)强度比；材料的强度极限与结构所受对应应力之比。

 

 

 

2．层合板的表示法

(1)一般层合板：每一铺层的方向用纤维与x轴的夹角示出，彼此用“／”分开，全部用[ ] 括上，并按由下而上或贴膜面向外的顺序写出，如[0／45／30／一45／90]。

 

(2)对称层合板：只写出一半，括号外加下标s。若为奇数层，对称中面铺层上加顶标“一”。如[0／90]_s或[0／45／90]_s。

 

 

 

(3)具有连续重复铺层时：连续铺层的层数用数字下标示出，如[0／45n／90]。

 

 

 

(4)由多个子层扳构成时：子层板重复数用数字下标示出，如[0／90]n。

 

 

 

(5)由织物铺成的层合板：织物的经纬方向用“( )”示出，如[(土45)／(0，90)]。

 

(6)混杂复合材料层合板：分别用下标表示。C：碳纤维，K；芳纶纤维，G：玻璃纤维．如[0_C／45_G]。

 

 

 

(7)夹层板：用c表示夹芯，下标数字表示夹芯厚度的毫米数，面板铺层表示法同前，如[0／90／Cn]。

 

 

二、单向层合板和镐层的刚度与强度

 

 

 

复合材料的基本单元是铺层。它的刚度与强度分析是层合板刚度与强度分析的基础。铺层很薄，因此可认为它处于平面应力状态。而层合板由于其厚度相对于板的其他尺寸较小，因此在复合材料力学经典理论中将它与铺层一样处理，按平面应力状态进行分析。即认为

 

 

 

(7．1)只考虑σx,σy,τxy等面内应力分量。以下分析均是在线弹性、小变形假设情况下进行。铺层的正轴剐度与各基本强度通常用单向层合板测试而得。

1．单向层合板的正轴应力—应变关系式
当板的参考坐标系xyz正好与单向层合板的主方向1，2，3一致时称为正轴(一般约定1轴为刚廑较大的主方向，3轴为垂直于层合板平面的轴向(见图7．4)。

 

 

　

 

因单向复合材料既为正交各向异性．且为横向各向同性，由弹性力学可得其应力—应变关系式如下

 

 

Qij为正轴状态下的平面应力模量分量，(i,j=1，2，6)。当用柔量分量表示时，上式可改写为

 

 

 

 

2．单向层合板的正轴刚度
Qij与Sij，表述了单向层合板在平面应力状态下的正轴刚度。此外也可用正轴工程弹性常数来衰述正轴刚度．正轴工程弹性常数有以下几项，纵向弹性摸量丑1，横向弹性模量五J。6(向泊松比γ1、横向泊松比γ2、纵横剪切弹性模量G12，其中E1／E2=γ1/γ2，它们均由试验测得。模量或柔量分量与工程弹性常数的关系如下：

 

 

 

 

3．单向层合板的偏轴应力—应囊关系式和刚度
当单向层合板处于偏轴状态时，不再呈现正交各向异性，其应力-应变关系式如下当用柔度分量表示时其应力—应变关系式如下

 

 

具体关系式如下：

 

 

 

当用柔度分量表示时

 

 

 

并可得到偏轴的工程弹性常数外，还有拉剪耦合系数（沿X轴单轴拉压时）

 

（沿Y轴单轴拉压时）。

 

 

 

4．单向层合板的基本强度
单向板的基本强度也就是铺层的基本强度，是复合材料在面内正轴向的单轴正应力或纯剪力作用下的极限应力，是复合材料强度计算中必不可少的基本性能数据，共有五项。其中x+x，是相应于单向板纤维方向的纵向拉、压强度；r，和y。是相应于单向板刚度较小的主方向(见图7。4中的2向)作用单轴拉、压应力时的极限应力值(横向拉、压强度)；5为单向板在材料主方向作用有面内剪应力时的极限剪应力值(面内剪切强度)．单向层合板在复杂应力作用下，其失效准则可用多种判据用以判别铺层是否失效。例如最大应力失效准则、最大应变失效准则、蔡—希尔准则、诺里斯准则、霍夫曼准则和蔡—胡准则等。读者可参考复合材料力学的有关部分。其中工程上常用的蔡—胡准则表达式如下：

 

 

 

　

 

当式(7．8)满足时该铺层即失效，<1时则不失效。
，

三、层合板的刚度和强度

L层合板的本构方程
层合板刚度是基于经典层合板理论给出的。即假设层合板的各铺层是紧密枯接的，变形符合直法线假设，各铺层按平面应力状态计算，并忽略l，由此给出层合板的刚度特性。通常在复合材料设计中这样处理是合适的。层合板的内力有面内力和弯矩(包括扭矩)(见图7．5(a))，层合板中层的标记(见图7．5(b))。层合板的内力—应变关系式(即本构方程)如式(7．9)。

 

 

 

该式也可以写成如下形式：

 

 

 

式中／和x指的是层合板中面应变和中面曲率(包括扭率)，层合板中任意一点的应变由中面应变co和中面曲率x来表达。式(7．10)中的矩阵A，B，D定义如下

 

 

 

由式(7．10)可知B矩阵的存在使层合板出现了面内载荷N(如轴力)会因耦合产生曲率x，而载荷M(如弯矩)会因耦合产生线应变／的现象。式(7．10)也可改写成以下的应变—内力关系式

 

 

 

由层合板的刚度系数或柔度系数可求得层合板的工程弹性常数，对于一般层合板，它有36个刚度系数，但其工程弹性常数为18个．

 

2．几种典型层合板的刚度特性
现将各刚度系数Aij等正则化处理，即将其规范化成与模量Q，量纲相同，并以角标，表示。此时有以下关系式： 对几种典型层板可由(7．15)式计算得到它们的刚度特性如下。

 

 

 

效应

(1)对称层合板 ，也即无拉—弯，拉—扭、剪—弯、剪—扭等耦合效应。

(2)对称正交层合板：除 之外，均衡对称斜交层合板： 当层组数

(4)准各向同性板： 且面内各方向的刚度一样，即


一般说工程上常用的层合板均为均衡对称层合板，因此具有正交各向异性．在少数情况下，为了得到某种特殊的刚度特性，希望复合材料构件具有某些特定的耦合软应，就可能把它设计成非正交各向异性的多向层合板。如美国的X—29A试验机的前掠翼蒙皮就是这样。

3．层合板的强度
层合板的强度有最先一层失效强度和极限强度两种。
确定层合板最先一层失效的强度必须首先作层合板的各单一铺层的应力分析，然后计算层合板中各个铺层的强度比，强度比最小的铺层最先失效，其对应的层合板正则化内力即为所求的最先一层失效强度。而导致层台板中各铺层全部失效时的层合板正则化内力为层合板的极限强度。正则化内力

 

 

 

四、层台板的层间应力

 

按经典层合板理论，一般多向层合板中各铺层均按平面应力状态计算，不考虑层间应力，这在复合材料设计的许多情况下是合适的。然而，在不少情况下层间应力是不能忽视的．由于复合材料层合板抵抗层间应力的能力与基体强度为同一量级，故层间应力的存在很容易导致层间的分层破坏，此时层合板不再以一个整体受载，因而层间分层将会严重降低层合板的刚度与强度。所以，层间应力与层间强度问题是复合材料结构设计中必须考虑的重要问题。

1．层间应力产生的原因

(1)在横向载荷(垂直于梁或层压板平面)的作用下，有横向剪切内力的存在。以层压梁为例，它与各向同性梁一样，会在梁的横截面(xoz平面)内产生剪应力τxz。按照剪应力互等定律，也必存在有大小相等的层间剪应力，计算式为

 

 

 

(2)复合材料层合板所特有的自由边界效应引起的层间应力。在靠近自由边界的地方(板的自由边、孔的周边等)存在着层间应力集中现象，即在边界处有数值较大的层间应力，向里很快裹减，逐渐转化为层内应力。这是由于各铺层的泊松耦合系数或拉剪耦合系数不相同．而在自由边界形成一个三维应力状态的边界层区，在这一边界层区域存在层间应力；铺层之间的应力传递是通过层间应力的作用来完成，从而达到变形协调。以图7．6所示受单向拉伸载荷的层合板为例来定性分析层间应力是如何产生的。在层合板顶层取一单元体(1)，当层合板承受单向拉伸时，各层内将产生平面应力，如单元体(1)两侧边作用有层内剪应力L，。但在y＝土‘处的另两侧自由边界上不存在～．因此，为了使演单元体满足力矩平衡条件，必定要产生层间剪应力h(下面相邻层对顶层的作用应力)来形成力矩与τxy形成的力矩平衡．同样，对于顶层的另一单元体(2)，其一边有fJ作用，但与它对应的另一侧为自由边，不可能有σy，而只能在自由边附近产生层间剪应力～(下面相邻层对该层的作用应力)来与fJ相平衡；而～对A点的矩将由层间法向应力σz来平衡。但这只是一种定性解释，不能用来确定层间应力的大小。经证明，自由边层间应力所在边界层区域的宽度约等于板的厚度σz，τyz,τzx的定量计算请查阅有关手册C16]。

 

 

 

2．自由边界层间庄力的分布规律
由其产生的原因可知，当改变各单层的铺向角和铺层顺序时将出现不同的变形协调要求，因而也就会产生不同的层间应力．图7．7(a)反映了层合板叠压顺序对层间法向应力l的影响；图7．7(b)反映了σz相对于y坐标的应力分布．图7．9(c)，(d)则反映了+45‘层合板的面内应力和层间应力的分布规律出及层间剪力随铺向角"的变化。